Hannemands teoriside
MATEMATIK
4-6. klasse
1
logik
I matematik er et udsagn en påstand. Det er enten sandt (S) eller falsk (F). Det kan ikke være begge dele.
Udsagn: Jorden er en planet!
Ikke udsagn: Årets bedste måned er april!
Brøkdele på tallinje
2
En formel er en opskrift på, hvordan man skal regne noget.
Variabel
I formler er der altid skrevet bogstaver, som man kalder variable (ubekendte), fordi de kan variere, dvs. man kan skifte dem ud med forskellige tal.
​
Man kan se variable som pladsholdere, fordi de holder pladsen for et tal.
Når du udskifter de variable med forskellige kendte tal eller størrelser, kan du beregne noget og finde et resultat.
Finde areal
Hér er formlen for areal af et rektangel:
A = l • b
Når du skal finde arealet af et rektangel, har du brug for at kende rektanglet længde og bredde. Når du har dem, indsætter du dem i formlen.
En variabel er en værdi, som er ubekendt.
3
Variable kan erstattes af tal.
EKS 1:
a + b + c = 2 + 3 + 8 = 13
Indsæt talværdierne på variablenes plads
a = 2
b = 3
c = 8
EKS 2:
3a + 4b + 5c = 3 • 2 + 4 • 3 + 5 • 8 = 6 + 12 + 40 = 58
Areal af rektangel
Hér er formlen for areal af et rektangel:
Arealet af rektanglet er derfor:
A = l • b
2
5 • 3 = 15 cm
Finde pris
pris = 2p + 3æ
Hvis en pære koster 3 kr og et æble 4 kr
3 kr. pr stk.
4 kr. pr stk.
2 • 3 + 3 • 4 = 6 + 12 = 18 kr
Hvis prisen på æbler og pærer ændrer sig, kan du stadig bruge formlen, når du køber 2 pærer og 3 æbler.
Du kan bruge denne formel på ALLE rektangler.
4
Ligesom der er regneregler med tal, er der regneregler med bogstaver.
En af forskellene mellem talregning og bogstavregning er, at man IKKE kan finde et resultat, før man ved hvilket tal, der skal stå på bogstavernes plads.
Der er skrivemåder, der er indforstået, når man regner med bogstaver:
Mange af de regler, som gælder for regning med tal, gælder også for regning med bogstaver.
5
At reducere betyder at forenkle.
a + a + a + a = 4a
4a er det samme som a 4 gange, altså 4 gange a, men man skriver ikke "gange".
EKS 1:
3b + b = 4b
3b - 2b = b
2a + 2b - a = a + 2b
EKS 2:
EKS 3:
Ved reduktion samles samme slags.
6
En ligning er et regneudtryk med et lighedstegn.
​
En ligning indeholder en eller flere ubekendte. De bliver ofte kaldt x, y eller z.
En ligning kan opfattes som en ligevægt, hvor der er lige meget i begge vægtskåle eller på begge sider af lighedstegnet.
5
1 + x
x kaldes for en ubekendt (variabel)
x er den værdi, der gør ligningen sand
x = 4
EKS 1:
EKS 3:
EKS 4:
EKS 2:
EKS 2:
EKS 5:
7
Som tidligere nævnt er variable pladsholdere for tal. Dvs når du skal løse en ligning, skal du finde ud af, hvilket tal pladsholderen holder pladsen for.
Variable kan være alle bogstaver, men er oftest x.
Dvs. du løser ligningen ved at finde ud af, hvilket tal der skal stå i stedet for x.
METODE 1: Afprøv
Gæt og kontrollér ved at indsætte et tal i stedet for x.
2x + 3 = 11
2 • 2 + 3 = 11
4 + 3 = 11
7 = 11
Sæt 2 ind på x´ets plads
2 • 3 + 3 = 11
6 + 3 = 11
9 = 11
Sæt 3 ind på x´ets plads
2 • 4 + 3 = 11
8 + 3 = 11
11 = 11
Sæt 4 ind på x´ets plads
Sæt 4 ind på x´ets plads
METODE 2: Beregn
Du kan ændre ligningen, så længe du opretholder ligevægten.
Formålet med at ændre ligninger er, at finde x (den ubekendte) og det gøres ved at få x til at stå alene på den ene side og talværdierne på den anden.
Du må plusse, minus, gange og dividere, så længe du gør det samme på begge sider af lighedstegnet.
Taktikken er altså at få alt, der har med x at gøre hen på den ene side af lighedstegnet og alt, der bare er tal hen på den anden.
EKS 1:
EKS 2:
Når du skal gange eller dividere, skal du huske at gange eller dividere ALLE led.
Løse ligninger
8
Der kan være flere x´er i en ligning. Men selv om der er flere x´er, er der stadig kun én ubekendt.
Hvert x står altså for det samme tal, og du løser ligningen ved at finde ud af, hvilket tal der skal stå på x’ets plads.
x + x + x = 9
Man kan skrive ligningens venstreside med et regneudtryk:
3 • x = 9, fordi der er 3 x’er.
Ofte skriver man bare 3x = 9
Man må altså gerne lade være med at skrive gangetegn mellem et tal og et bogstav.
Du kan løse ligningen ved at spørge: Hvilket tal skal jeg gange med 3, for at det giver 9? Svar: 3
9
Det kan være en god idé at ’oversætte’ et problem fra hverdagen til en ligning og løse ligningen for at løse problemet.
Fx kan du oversætte regnehistorier og talgåder til ligninger, som du kan løse. Når du har løst ligningen, har du fundet resultatet af regnehistorien eller svaret på talgåden.
Regnehistorie
Jens har 50 kr. Han køber en is og har bagefter 32 kr. tilbage. Hvad kostede isen?
Regnehistorien kan du oversætte til ligningen:50 – x = 32
x er prisen på isen.
Talgåde
Jens’ mor er 42 år gammel. Hvis man ganger Jens’ alder med 5 og lægger 2 til, så får man Jens’ mors alder. Hvor gammel er Jens?
Denne talgåde kan du oversætte til ligningen: 5 • x + 2 = 42
x er Jens’ alder.
10
11
En ulighed er et regneudtryk med et eller flere ulighedstegn.
​
En ulighed kan indeholde en eller flere ubekendte.
En ulighed kan opfattes som en vægt, hvor der IKKE er lige meget i begge vægtskåle eller på begge sider af lighedstegnet.
x
7
x < 7
x kaldes for en ubekendt (variabel)
x er den eller de værdier, der gør uligheden sand.
En ulighed har ofte flere løsninger.
Der findes 4 ulighedstegn:
Større end
Mindre end
Større end eller lig med
Mindre end eller lig med
HUSKEREGEL:
Krokodillen vil altså have den side, hvor der er mest.
3
8
EKS 1:
x < 7
Berit må invitere færre end 7 gæster til sin fødselsdag.
Løsningen er: 0, 1, 2, 3, 4, 5, eller 6 gæster.
EKS 2:
10 - x ≥ 8
Peter køber 8 æbler. Hun skal have mindst 5 æbler med hjem. Hvor mange æbler kan han spise på hjemvejen?
Løsningen er: 0, 1 eller 2.
EKS 3:
3 + x < 10
Sæt tal ind et efter et og se om det gør uligheden sand.
Løsningen er: 5, 6.
EKS 4:
3 + x < 10
Fx.
12
Vis løsningen på tallinje
Man kan bruge en tallinje til at vise løsningen på en ulighed.
Fx:
x + 3 > 5
Alle tal større end 2, som indsættes på x´s plads, vil gøre uligheden sand.
Den åbne prik betyder, at tallet IKKE er med i løsningen.
Hvis vi ændres uligheden til x + 3 ≥ 5, vil løsningen se sådan ud:
Den lukkede prik betyder, at tallet ER med i løsningen.
13
Led
Et regneudtryk kan indeholde flere led. Led er en fællesbetegnelse for en talværdi og et fortegn.
Hér er 3 led.
Parenteser
Gange ind i parentes
Du ganger ind i en parentes ved at gange hvert led i parentesen.
Plus og minus parenteser
Står der et minus foran parentesen, er det en minusparentes.
Ellers er det en plusparentes.
Står der et minus foran parentesen, er det en minusparentes. Det er ligegyldigt, om der står et minus inde i parentesen, eller om resultatet inde i parentesen er negativt.
EKS:
− (4 + 2)
− (3 − 7)
Ellers er det en plusparentes. Står der et plus foran parentesen er det en plusparentes. Hvis der ingenting står foran parentesen, er det en plus parentes.
Her er der et ”skjult” plus foran parentesen.
Igen er vi ligeglade med, hvad der står inde i parentesen.
EKS:
+ (3 + 5)
(3 + 5)
Hæve og sætte parenteser
Vi kan sætte og fjerne lige så mange plusparenteser, som vi ønsker.
EKS:
3 + 4 + 6 = 3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6
Vi kan sætte og fjerne lige så mange minusparenteser, som vi ønsker. Men vi skal huske at skifte fortegn på hvert led i parentesen!
EKS:
5 − (2 + 1) = 5 − 2 − 1
Skal det skrives generelt, kan vi skrive:
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
Skal det skrives generelt, kan vi skrive:
a − (b + c) = a − b − c