Hannemands teoriside
MATEMATIK
4-6. klasse
1
TAL
Flere tal
Et positionssystem er et talsystem, hvor cifrenes værdi afhænger af deres placering/position i tallet.
Ciffer
I Danmark bruger vi et talsystem, som består af 10 cifre/talsymboler.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Med disse 10 cifre kan du lave ALLE tal.
Tal
Et tal består altså af et eller flere cifre.
EKS: Tallet 17 består af to cifre, nemlig 1 og 7.
Tallet 193 består af cifrene 1, 9 og 3.
Titalssystemet
Vi kalder vores positionssystem for titalssystemet, fordi grundtallet er 10.
10 = 10 enere
100 = 10 tiere
1000 = 10 hundreder
Sammentrukket form
Udvidet form
8436
8000+400+30+6 = 8436
8000
400
30
6
8436
XXXX
xx
2
Separator
For nemmere at kunne læse store tal bruges enten mellemrum eller bruges som tusindtalsseparator.
EKS:
8 436
1 245 534
eller
8.436
eller
1.245.534
Sætte separator
​
METODE: tæl tre pladser bagest fra tallet mod venstre og sæt et punktum, så igen tre osv.
3
Negative tal er mindre end nul.
Negative tal har et minus foran (fortegn) fx. -7.
Når man bruger et minustegnet til at vise, at et tal er negativt, kalder man det for et fortegn
Negative tal
Positive tal
På en tallinje er:
-
de negative tal placeret til venstre for 0.
-
de positive tal er placeret til højre for 0.
Et positivt tal har et plustegn (+) som fortegn, men hvis der ikke er sat et fortegn, er tallet oftest positivt.
Brug af negative tal
Brug af negative tal
Brug af negative tal
Brug af negative tal
4
Plus og minus på tallinje
Du kan bruge en tallinje, når du skal regne med negative tal.
Når vi lægger noget til (adderer, +), bevæger vi os til højre på tallinjen, og når vi trækker noget fra (subtraherer, -), bevæger vi os til venstre.
1)
10 – 7 = 3
Du har 10 kr. i din pung,
men skylder 7 kr. væk.
10 – 7 = 3
=​
Du skylder 7 kr. væk,
men har 10 kr. i din pung.
–7 + 10 = 3
2)
1)
2)
Plus og minus, samle og forenkle
Når der er flere positive og negative tal i et regnestykke, kan det være lettere først at samle alle negative tal og alle positive tal i hver deres bunke.
Strategi: Sæt cirkel om tallet og dets regnetegnet.
Plusse
At plusse (addere) to tal er det samme som at se, hvor meget de er tilsammen.
Hvis du f.eks. har 10 kr. i din pung, men du skylder 7 kr. væk, så har du kun 3 kr. til dig selv. Matematisk ser det således ud:
EKS:
10 + (-7) = 10 - 7 = 3
At lægge -7 til, er altså det samme som at trække 7 fra.
EKSEMPLER:
4 + (+8) = 4 + 8 = 12
4 + (-8) = 4 - 8 = - 4
Minus
At minus (subtrahere) et tal fra et andet er at se hvor stor forskel, der er på de to tal.
Hvis et fly befinder sig i 150 meters højde, og flyver over en sø, der er 50 meter dyb, så er afstanden fra flyet til søbunden 200 meter. Matematisk ser det således ud:
EKS:
150 − (−50) = 150 + 50 = 200
At trække -50 fra er altså det samme som at lægge 50 til.
EKSEMPLER:
4 - (+8) = 4 - 8 = - 4
4 - (-8) = 4 + 8 = 12
Gange og dividere
Fortegnsregler
Gange
EKSEMPLER:
(-4) • 8 = - 4 • 8 = - 32
(+4) • (-8) = 4 • - 8 = - 32
(-4) • (-8) = - 4 • - 8 = 32
Dividere
Lommeregner
Hvis du bruger lommeregner til at regne med negative tal, skal du huske at taste fortegnet. Knappen kan se sådan ud:
(-) +/-
a – (+ b) = a - b
Faktorernes orden er ligegyldig i plus og minus
a + (– b) = a – b
Regn med negative tal på tallinje - pilens retning
Regn med negative tal på tallinje - let
(–a)・b = –ab
a・(–b) = –ab
(–a)・(–b) = ab
a + (+ b) = a + b
a – (– b) = a + b
Regn med negative tal
- fortegn og regnetegn
Regn med negative tal
- gange og dividere
5
Fortegn og regnetegn
Symbolerne + og - bruges som regnetegn (grøn) og som fortegn (blå)
Fortegn (+, -) viser om tallet er positivt (+5) eller negativt (-5).
Et fortegn knytter sig kun til ét bestemt tal. Tit er plus-fortegn underforstået (5 = +5).
Regnetegn (+, -, ・, :, potens, kvadratrod) viser hvad du skal gøre med de tal, der indgår i regnestykkerne.
Ofte sætter man med et minus-fortegn i parentes for ikke at forveksle fortegn og regnetegn.
4 + (–1) – (+3)
4 – (– 5)
For at kende forskel sættes nogle gange en parentes omkring fortegn
Fortegnsregler for gange og division
Fortegnsreglen, der handler om, hvordan vi gør, når vi ganger og dividerer to tal.
Gange
Dividere
Har tallene ens fortegn, fås et positivt resultat.
​Har tallene to forskellige fortegn, fås et negativt resultat.
EKS:
Hvis du har lånt 5 kr. af hver af dine 3 venner, hvor mange penge skylder du så væk? Svar: Du skylder 15 kr.
(–5) • 3 = - 15
EKS:
Du køber busbilletter til dig selv og 4 af dine venner. Du lægger ud for alle og betaler i alt 65 kr. Hvor meget skylder dine venner dig for busbilletten?
–65 : 5 = -13
Parentesregler
"At hæve en parentes" er det udtryk, vi bruger, når vi fjerner en parentes.
​
Hvis der står plus foran parentesen, kan vi bare fjerne den.
​
Hvis der står der minus foran parentesen, skal vi ændre alle tegn inde i
parentesen. Det betyder, at plus ændres til minus og omvendt minus til plus.
EKS:
Plusparentes
7 + (3 - 5) = 7 + 3 – 5 = 5
Minusparentes
8 – (2 + 5) = 8 – 2 – 5 = 1
Hvis der ikke står et fortegn foran et tal, så er det positivt (+).
Eks 2 = +2
a – (b + c) = a – b – c
a + (b + c) = a + b + c
6
Potenser er tal skrevet på en speciel måde.
3
2 = 2 • 2 • 2 = 8
EKS:
Læses 2 i tredje
Fra potens til gangestykke
Hvis du skal finde resultatet af en potens, kan du omskrive til et gangestykke og regne det.
EKS:
8
1
= 8
5
2
= 5 • 5 = 25
3
4
= 3 • 3 • 3 • 3 = 81
4
5
= 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 1024
Otte i første
Fem i anden
Tre i fjerde
Fire i femte
Fra gangestykke til potens
Modsat kan du skrive gangestykker, hvor det samme tal bliver ganget flere gange, på en lettere og kortere måde.
EKS:
7
3
7 • 7 • 7 =
8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 =
8
7
Det gælder også for potenser, at:
Man kalder det også 2 opløftet til tredje potens
2 betyder, at tallet 2 bliver ganget med sig selv 3 gange.
3
a = a • a • a • a • a
Bevis
5
Eksponenten viser, hvor mange gange roden skal ganges med sig selv.
Et tal i nulte er altid 1.
7
Potenser med roden 10, kaldes tierpotenser.
Man bruger tierpotenser til at skrive enten meget store eller meget små tal på en kortere måde.
Store tal
EKS:
Eksponenten fortæller hvor mange nuller, der kommer efter et-tallet.
Hér 6 nuller
Små tal
Et-tallet skal stå på denne plads efter komma.
Hér plads nr. 6
Tierpotenser er også brugbare, når man skal sammenligne meget små eller store tal.
8
Regneregler for potens med samme eksponent
Regneregler for potens med samme rod
Gange potenser
Gange potenser
Dividere potenser
Man opløfter en potens til ny potens ved at gange eksponenterne og beholde roden.
Dividere potenser
Potens til ny potens
EKS:
EKS:
Man dividerer to potenser med samme rod ved at beholde roden og minus eksponenterne.
Man ganger to potenser med samme rod ved at beholde roden og plusse eksponenterne.
9
Et tal er enten et primtal eller et sammensat tal.
Tallet 1 er hverken et primtal eller et sammental. Det er et særligt tal, for det kan kun deles med sig selv.
Naturlige tal
Primtal
Sammensatte tal
Primtal
Et primtal er et helt positivt tal større end 1, der kun kan deles med 1 og tallet selv.
Fx kan tallet 3 kun deles med 1 og 3 og er derfor et primtal.
Primtal mellem 1 og 100
Sammensatte tal
Sammensatte tal er hele positive tal, der ikke er primtal.
De kan skrives som et gangestykke af primtal, f.eks. 6 = 2 x 3.
Sammensatte tal kan deles med flere end 2 tal.
EKS: 6 kan deles med 1, 2, 3 og 6.
10
Opløse i primfaktorer
Alle sammensatte tal kan opløses i primfaktorer dvs. skrives som et gangestykke af primtal.
METODE 1:
METODE 2:
Opløse i primfaktorer
11
Romerne brugte bogstaver til at skrive tallene med.
Regler:
Tegn, der skrives bagved et større, lægges til
Tegn, der står mellem to tegn, trækkes fra det
sidste og lægges til det første
Der må højst stå tre ens tegn efter hinanden
Tegn, der skrives foran et større, trækkes fra
Fx. lV = 5 - 1
Fx. Vl = 5 + 1
Fx. LlX = 50 + 10 - 1
Fx. XXX = 30
Store tal er skrevet sammen af flere mindre:
MCDLXXIX = M + CD + LXX + IX
1479 = 1000 + 400 + 70 + 9
Fx.
12
13
MAT håndbogen