Hannemands teoriside
MATEMATIK
4-6. klasse
figurer
1
Linjer
Linje
m
linje
Halvlinje
halvlinje
Linjestykke
A
B
linjestykke
Parallelle linjer
k
l
n
m
Vinkelrette linjer
En linje kan fortsættes i det uendelige til begge sider. Linjers navne skrives med små bogstaver fx m.
En halvlinje har et endepunkt og strækker sig i det uendelige fra dette punkt.
Linjestykker har en bestemt længde og skrives med store bogstaver fx AB.
Parallelle linjer skærer aldrig hinanden, uanset hvor langt de forlænges.
​
Afstanden mellem linjerne er altid den samme/lige stor overalt.
Linje k og l er parallelle.
Tegn parallelle linjer
Tegn vinkelrette linjer
To linjer står vinkelret på hinanden, når de danner en ret vinkel.
Linje m og n står vinkelret på hinanden.
2
Højde
En højde i en trekant er et linjestykke fra en vinkelspids vinkelret på den modstående side.
c
h
Den linje som højden står vinkelret på hedder grundlinjen.
Alle trekanter har tre højder - en fra hver vinkelspids og de skærer hinanden i samme punkt.
Højdernes navne
Højder kaldes typisk h og grundlinjen g.
I nogle tilfælde kan det være nødvendigt at tydeliggøre, hvilken højde, der er tale om. I så fald navngives højden efter grundlinjen, dvs den side som højden står vinkelret på.
h betegner den højde, der står vinkelret på siden c.
c
Højder i stumpvinklede trekanter
c
h
b
h
a
h
I stumpvinklede trekanter falder to af højderne uden for trekanten.
Du må gerne forlænge grundlinjen - altså tegne siden længere, så højden står vinkelret på sidens forlængelse.
I en formel bruger man h og g som de variable, der beskriver højden og grundlinjen.
Højder i trekant
Tegn højder, Geogebra
Tegn højder, tegnetrekant
Tegn højder i stumpvinklet trekant, tegnetrekant
Tegn højder, passer
3
En median i en trekant er et linjestykke fra en vinkelspids til midten af den modstående side.
b
m
Der er tre medianer i en trekant og de skærer hinanden i samme punkt, trekantens tyngdepunktet.
T er trekantens tyngdepunkt.
Medianer kaldes typisk m.
Tegn medianer, Geogebra
betegner den median, der går til midten af siden b.
m
b
Medianer
4
En vinkelhalveringslinje i en trekant er en halvlinje, der går gennem en vinkel og halverer den.
Der er tre vinkelhalveringslinjer i en trekant og de skærer hinanden i samme punkt, centrum af den indskrevne cirkel.
5
En normal linje er en linje der tegnes vinkelret på en anden linje.
En midtnormal til en side i en trekant er en linje, der står vinkelret midt på siden og deler den i to lige store dele.
​
Der er tre midtnormaler i en trekant og de skærer hinanden i samme punkt, centrum for af omskrevne cirkel.
6
En midtpunktstransversal er et linjestykke, der forbinder midtpunkterne af to sider i trekanten.
Det betyder, at siden DC er halvt så lang som siden AC, og CE er halvt så lang som CB.
​
Midtpunktstransversalen er parallel med den tredje side (her siden c) i trekanten, og den er halvt så lang som denne.
Der fremkommer to trekanter – trekant ABC og trekant DEC.
7
8
En diagonal er et linjestykke, der forbinder to vinkelspidser i en polygon, men som ikke er en side i polygonet.
Kvadratet har 2 diagonaler
E
A
D
C
B
Figuren har 5 diagonaler:
AD, AC, BE, BD og CE.
n-kant
Antallet af diagonaler (D) i en n-kant kan findes med denne formel:
2
n (n - 3)
D =
De blå linjestykker er diagonaler ogg de sorte er sider. Diagonalerne deler polygonen op i mindre polygoner.
Vinkler
En vinkel består af to halvlinjer. De kaldes venstre og højre vinkelben.
vinkelrum
venstre vinkelben
højre vinkelben
vinkelspids
En vinkels størrelse måles i grader og vises med dette symbol °.
Vinkler skrives med store bogstaver.
Vinkeltyper
En spids vinkel
En spids vinkel er mindre end 90°.
En ret vinkel
En ret vinkel er præcis 90°.
En stump vinkel
En stump vinkel er større end 90°, men mindre end 180°.
En lige vinkel
En lige vinkel er præcis 180°.
Topvinkler
T
S
U
V
S og U er topvinkler
V og T er topvinkler
To rette linjer, der skærer hinanden, danner to sæt topvinkler.
Topvinkler er lige store.
N
M
M og N er nabovinkler
Nabovinkler
To vinkler, der har et ben til fælles og tilsammen udgør en vinkel på 180°, kaldes nabovinkler.
Man siger fx:
"Vinkel A er 90 grader"
eller skriver "∠A = 90°"
​
Undersøg vinkler, digitalt
9
At måle vinkler
At tegne vinkler
Måle vinkler, Geogebra
Tegne vinkler, Geogebra
Tegne vinkler, papir
Måle vinkler, papir
Måle vinkler, digitalt
Gæt vinkler, digitalt
10
Alle kantede figurer har vinkler, der kan måles. Når vi måler vinklernes størrelse og lægger dem sammen, får vi figurens vinkelsum.
Vinkelsum i trekant
C
A
B
65°
75°
40°
Vinkelsummen i en trekant = vinkel A + vinkel B + vinkel C
40° + 65° + 75° = 180°
Vinkelsum i firkant
90° + 90° + 90° + 90° = 360°
45° + 135° + 45° + 135° = 360°
Vinkelsum i n-kant
Vinkelsummen i en n-kant kan findes ved at bruge følgende formel:
(n - 2) • 180°
EKS: Vinkelsummen i en syvkant:
(7 - 2) • 180° = 5 • 180° = 900°
Vinkelsummen i en firkant
vil altid være 360°.
Vinkelsummen i en trekant
vil altid være 180°.
Bevis
n er antallet af kanter i figuren
Vinkelsum i polygon
Bevis
Vinkelsum i trekant
11
60°
60°
30°
30°
20°
70°
40°
40°
140°
140°
30°
150°
Vinkelberegning
12
Plane og rumlige figurer
En plan figur er en figur med 2 dimensioner.
En trekant er en polygon, der har tre sider.
I en trekant angives vinklerne med store bogstaver og siderne med små bogstaver.
En vinkel og dens modstående side benævnes med samme bogstav.
c
A
C
B
a
b
Typer af trekanter
En spidsvinklet trekant
En spidsvinklet trekant er en trekant med tre spidse vinkler.
En retvinklet trekant
En retvinklet trekant er en trekant med en ret vinkel (=90°).
En stumpvinklet trekant
En stumpvinklet trekant er en trekant hvor én vinkel er større end 90°.
En ligebenet trekant
En ligebenet trekant er en trekant, hvor to af siderne er lige lange.
To af vinklerne er lige store.
En ligesidet trekant
En ligesidet trekant er en trekant med tre lige lange sider.
Alle vinklerne er lige store.
180° : 3 = 60°
Trekanter, oversigt
P
En vilkårlig trekant er en trekant, der hverken er retvinklet, ligebenet eller ligesidet.
Typer af trekanter
13
En firkant er en polygon, der har fire sider.
I en firkant er vinkelsummen altid 360Ëš.
Typer af firkanter
Et kvadrat
Et kvadrat er en firkant med fire rette vinkler og fire lige lange sider.
Et rektangel
Et rektangel er en firkant med fire rette vinkler og hvor modstående sider er parvis lige lange.
Et trapez
Et trapez er en firkant, hvor netop to af siderne er parallelle.
Et parallelogram
Et parallelogram er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle.
Modstående betyder, at de ligger overfor hinanden.
En rombe
En rombe er en et parallelogram, hvor alle sider er lige lange.
De modstående vinkler er lige store.
En rombes diagonaler står vinkelret på hinanden.
En dragefirkant
En rombe er en et parallelogram, hvor alle sider er lige lange.
De modstående vinkler er lige store.
En rombes diagonaler står vinkelret på hinanden.
Et rektangel
Firkanters egenskaber
En dragefirkant
Et parallelogram
Et trapez
Firkanter, oversigt
P
En rombe
Et rektangel, egenskaber
Et kvadrat
Et kvadrat, egenskaber
Et parallelogram, egenskaber
Et trapez, egenskaber
En rombe, egenskaber
Et dragefirkant, egenskaber
Firkanters egenskaber (eng)
14
Et polygon er figur med mange kanter. Polygoner benævnes efter antallet af sider, fx firkant, femkant, sekskant og n-kant.
Så polygon er en fælles betegnelse for figurer med flere kanter.
Regulære polygoner
I en regulær polygon er alle vinkler lige store og alle sider er lige lange.
Irregulære polygoner
15
En cirkel er mængden af punkter, som har samme afstand til ét punkt. Dette punkt kaldes centrum.
En radius er en linje fra centrum til cirklens kant/periferi.
En diameter er en linje, fra kant til kant og som går gennem cirklens centrum.
Radius
Diameter
Centrum
Cirkeludsnit
90°
180°
270°
360°
Et cirkeludsnit er en del af en cirkel – som vi populært kalder et lagkage- eller pizzastykke.
16
17
En rumlig figur er en figur med 3 dimensioner.
En terning
En terning er en rumlig figur. Terninger har seks sider, som alle er kvadrater. Det vil sige at en terning har samme højde, bredde og længde.
En kasse
En kasse er en rumlig figur. En kasse har seks sider, som alle er rektangler. Det vil sige alle vinkler, på en kasses overflade, er rette og alle modstående sider er parallelle.
En cylinder
En cylinder er en rumlig figur, som består af to ens cirkler, som er forbundet med en krum overflade.
Den krumme overflade er et rektangel.
En cylinder har altså form som et rør, som ikke har huller i enderne. En cylinder har dermed form som en dåse.
En kegle
En kegle er en rumlig figur, som består af en cirkel der går op i en spids.
En kegle
En keglestub er en kegle, hvor toppen er fjernet. I en keglestub er toppen mindre end bunden modsat cylinderen, hvor top og bund er lige store.
En kegle
En kugle defineres ud fra et punkt, som er kuglens centrum, og ud fra kuglens radius. En kugles overflade, er alle de punkter, der ligger længden af radius væk fra centrum. Alle disse punkter kaldes samlet for kuglens periferi.
En prisme
3-sidet prisme
6-sidet prisme
En prisme er en rumlig figur, der har to parallelle, ens endeflader og parallelogrammer som sideflader.
​
Det kan være en trekant, firkant, femkant eller en anden slags "kant".
Flytninger
En symmetriakse og er en linje, som deler en figur, som får den ene side til at være en spejling af den anden. Symmetriakser kaldes derfor også for spejlingsakser.
En figur kan godt have flere symmetriakser/spejlingsakser.
En figur er symmetrisk, hvis den har mindst én symmetriakse.
En asymmetrisk figur har ingen symmetriakser.
18
Typer af flytninger
Man kan flytte en figur på tre forskellige måder:
- spejling
- parallelforskydning
- drejning
Spejling
Parallelforskydning
Drejning
Flytning inden for matematikken handler om at flytte en figur, uden at formen og størrelsen på figuren ændrer sig dvs. de to figurer er kongruente.
19
Spejling
En spejling er en flytning, hvor en figur spejles i en spejlingsakse (symmetriakse). Spejlingen vender figuren.
s
1
A
1
C
1
B
A
B
C
Iinje s spejlingsakse.
I en spejling er der præcis lige langt fra begge figurer til spejlingsaksen. Afstanden fra ethvert punkt på figuren til spejlingsaksen, er nøjagtig den samme som afstanden fra det lignende punkt på den spejlede figur.
Afstanden fra punkt A og til spejlingsaksen er den samme som fra punkt A1 til spejlingsaksen.
Spejling, Geogebra
Undersøg spejlinger
Spejling, ternet papir
20
Parallelforskydning
En parallelforskydning er en flytning, hvor alle punkter i figuren skubbes lige langt i samme retning.
B
C
1
A
1
B
1
C
A
En parallelforskydning kan beskrives på følgende måder:
1)
3 2
2)
betyder 3 til højre og 2 op
betyder 3 til højre og 2 op
Fx. Flyt figuren
som pilen viser
Parallelforskydning, Geogebra
Parallelforskydning, papir
21
Figuren er drejet 90° med uret omkring punktet C.
​Punkterne drejes det samme antal grader og i samme retning.
​
Drejninger foretages med eller mod uret og den kan drejes forskellige antal grader fx 90Ëš (kvart omgang) eller 180Ëš (en halv omgang).
A
B
C
1
A
1
B
1
C
Drejning
En drejning er en flytning, hvor alle punkter i figuren drejes om samme punkt.
Dette punkt hedder omdrejningspunktet.
Omdrejningspunktet kan sidde i figurens hjørner, inde i figuren eller uden for figuren.
​
Den grønne figur er drejet 90° mod uret i alle tre eksempler.
Drejning, Geogebra
Drejning, papir