Hannemands teoriside
MATEMATIK
4-6. klasse
1
Statistik
Statistik
Man bruger statistik til at fortælle noget om det man har undersøgt.
Statistik handler om at skabe overblik over mange tal.
Statistik handler om at ordne, beskrive og forklare data.
Observationer
Når man laver statistik, skal man bruge nogle tal.
Tallene får man ved at lave en undersøgelse.
De tal man samler ind, hedder observationer (data).
Alle indsamlede observationer kaldes et observationssæt (datasæt).
For at skabe overblik over en masse observationer, bruger man tabeller og diagrammer.
EKS:
Her er observationssættet fra en undersøgelse om skostørrelser i en 4. kl.
Observationer
36, 36, 35, 36, 34, 33, 35, 35, 37, 35, 36, 36, 37, 35, 36, 34, 36, 34, 35, 38.
Tabel
Hér er observationerne samlet i en tabel.
Diagram
Hér vises resultaterne i et diagram.
En brøk består af en tæller, en brøkstreg og en nævner.
2
Tabeller og diagrammer bruges til at skabe overblik over tallene i en undersøgelse.
Diagramtyper
Søjlediagram
Et søjlediagram bruger man ofte til at sammenligne grupper af størrelser.
ed mange observationer.
Pindediagram
Et pindediagram har den fordel, at hver observation ikke fylder særlig meget. Derfor er det ofte en god ide at bruge et pindediagram, hvis man vil lave et diagram med mange observationer.
Kurvediagram
Et kurvediagram er ofte godt at bruge til at beskrive en udvikling over tid.
Procentdiagram
Procentdiagram er særligt godt, når man skal vise en procentdel af noget.
Cirkeldiagram
Cirkeldiagram er særligt godt, når man skal vise en procentdel af noget.
At lave cirkeldiagram
Fra procent til grader
100% = 360°
1% = 3,6°
10% = 36°
Diagrammerne (pånær cirkeldiagrammet) er tegnet i et koordinatsystem.
På akserne er der enheder. Enhederne fortæller, hvad du kan aflæse på akserne.
Akserne kan du inddele, så du kan aflæse eller afsætte større tal dvs. intervallerne kan variere.
Akserne, eksempler
3
Hyppighed og hyppighedstabel
En hyppighedstabel er en oversigt over hvor mange gange de enkelte observationer forekommer.
Hyppigheden for en observation er det antal gange, den enkelte observation forekommer.
EKS:
En 9. klasse på 20 elever opnår følgende karakterer i matematik:
7, 10, 10, 00, 02, 4, 4, 7, 10, 7, 4, 12, 10, 7, 7, 12, 02, 7, 7, 10.
Dette kan gøres mere overskueligt, hvis det stilles op i en tabel.
Hyppigheden for karakteren 4 er 3, da 3 elever har fået 4.
4
Deskriptorer
Deskriptorer bruges til at beskrive data/observationer.
-
Gennemsnit (se næste)
-
Mindsteværdi
-
Størsteværdi
-
Typetal
-
Variationsbredde
-
Typeinterval
-
Median
Mindsteværdien
Mindsteværdien er den mindste observation i et observationssæt.
Størsteværdien
Størsteværdien er den største observation i et observationssæt.
Typetallet
Typetallet for et observationssæt er den observation, der forekommer flest gange - altså den mest typiske.
Variationsbredden
Variationsbredden er forskellen mellem størsteværdien og mindsteværdien. Variationsbredden angiver, hvor stort et område, observationerne spreder sig over.
Typeintervallet
Typeintervallet for et observationssæt er det interval, der forekommer flest gange - altså er det mest typiske.
Medianen
Medianen er den midterste observation i et observationssæt, når observationerne er sat i rækkefølge. Hvis der er to observationer i midten, er medianen det mindste tal af de to.
Du kan kun finde mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde, typetal og gennemsnit, hvis observationerne er tal.
Find deskriptorer
5
Gennemsnit er et snit gennem flere tal, der gør, at alle værdier bliver lige store.
Gennemsnit kaldes også middeltal.
Den røde streg viser gennemsnittet.
Gennemsnit betyder, at der er lige meget i hver bunke.
6
Metode 1: Tegn
Der skal være lige mange i de 3 kolonner.
EKS 1:
Gennemsnittet er 4.
Gennemsnit med negative tal.
EKS 2:
1
2
3
4
Gennemsnittet er 1.
Metode 2: Beregn
Du finder gennemsnittet ved at lægge alle observationer (tal) sammen og derefter dividere med antallet af observationer.
Gennemsnittet =
summen af observationerne
antallet af observationer
EKS 3:
3 + 2 + 4 = 9
9 : 3 = 3
Gennemsnittet er 3
3 + 5 + 1 + 4 + 7 = 20
20 : 5 = 4
Gennemsnittet er 4
EKS 4:
Gennemsnit med negative tal.
- 2 + 5 - 9 = - 6
- 6 : 3 = - 2
Gennemsnittet er - 2
10 - 5 + 6 - 3 + 2 = 10
10 : 5 = 2
Gennemsnittet er 2
7
HUSK at når du skal finde gennemsnit, skal du bruge 2 oplysninger.
1) Antallet af observationer i alt og 2) Summen af alle observationer
Gennemsnittet =
summen af observationerne
antallet af observationer
3
25
Antal
forskellige observationer
Alle
observationer
14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16.
(7 • 14 år + 10 • 15 år + 8 • 16 år) : 3 = 15,04 år
98 år + 150 år + 128 år
376
376 : 25 = 15,04 år
Summen af observationerne
Antallet af observationer
Typiske fejl
summen af observationerne
antal forskellige observationer
376 : 3 = 125,333... år
antal af observationer
antal forskellige observationer
25 : 3 = 8,333... år
For at undgå at lave disse fejl, kan du stille dig selv følgende spørgsmål:
-
Hvad er det nu undersøgelsen handler om?
-
Hvad er det, der blev spurgt om i opgaven?
​
8,3 år
Kan det passe?
125 år
Gennemsnitsalderen for de elever fra i 8-10. klasse, som var med i undersøgelsen er...
8
Frekvensen for en observation fortæller, hvor stor en del af hele observationssættet, den enkelte observation udgør.
Frekvens =
hyppighed
antal observationer
Nogle af tallene kan være afrundede, så summen af frekvenserne ikke altid giver 100% fx 99 eller 101%.
9
Grupperede observationer
Hvis der er mange forskellige observationer i en undersøgelse, kan det være en god ide at inddele observationerne i grupper. Grupperne kaldes intervaller.
EKS 1:
Der er ikke nogen bestemt regel for, hvor store intervallerne skal være. Det er vigtigt, at intervallerne gør dine data mere overskuelige og samtidig skal du passe på, at de vigtige informationer, du kan læse af dine data ikke forsvinder.
Herunder kan du se data fra en undersøgelse af, hvor mange hele minutter eleverne i en klasse brugte på at komme i skole en morgen.
EKS 2:
Observationerne er meget forskellige. Det er derfor en god ide at inddele dem i intervaller.
Du kan fx lave intervaller for undersøgelsen sådan her:
Tabellen er en hyppighedstabel, fordi den viser hvor mange observationer der er i hvert interval.
Det kaldes intervalhyppigheden. I tabellen kan du ikke længere se de enkelte observationer.
Hér er observationssættet vist i et diagram.
Du kan finde typeintervallet på samme måde som du finder et typetal.
Typeintervallet er det interval, hvor der er flest observationer.
Der kan godt være flere typeintervaller i et observationssæt.
[0-5] både 0 og 5 er med
]0-5] 0 er ikke med
[0-5[ 5 er ikke med
10
11
12
Diagrammer i regneark
1. Lav en hyppighedstabel.
2. Markér de observationer du vil oprette et diagram til.
3. Klik på INDSÆT > Anbefalede diagrammer
4. Vælg et diagram og klik OK.
Statistiske deskriptorer i regneark
Når du skal finde statistiske deskriptorer, kan du bruge et digitalt værktøj fx regneark.
I regneark kan du finde deskriptorer ved at vælge eller bruge en formel. Når du har valgt den rigtige formel, skal du markere de celler, som dine observationer står i.
Markér tallene betyder, at du skal markere observationerne i undersøgelsen fx tallene hér til venstre.
Frekvens i regneark
EKS: Undersøgelsen viser, hvordan eleverne i 5. klasse kommer i skole.
Fx. Der er 4 børn i klassen ud af 25, som bliver kørt i skole.
= 0,16
Du kan vise frekvensen med procent ved at markere kolonnen “frekvens” og klikke på
Du kan vise frekvensen i cirkeldiagram ved at markere kolonnerne observation og frekvens og herefter klikke på
under fanebladet “indsæt”. Sådan får du lavet et cirkeldiagram.
Frekvens =
antal observationer
hyppighed
Sandsynlighed
Sandsynlighed handler om at forudsige og vurdere chancen for, at noget kan ske.
I hverdagssproget bruges ofte chance om positive hændelser og risiko om negative hændelse
Fx taler man om chancen for hvid jul eller risikoen for at brække benet på ski.
Chancen for disse hændelser beskrives ofte med ord fx umulig, lille, lige, stor eller sikker.
Sandsynlighed beskrives mere præcist med brøk, decimaltal eller procent.
Hvis de er tæt på 0, er chancen lille. Hvis de er tæt på 1, er chancen stor. Sandsynligheden er altid et tal mellem 0 og 1.
Jævn sandsynlighed
Sandsynligheden er jævn, hvis der er lige stor sandsynlighed for alle udfald fx en 6-sidet terning.
Ujævn sandsynlighed
Sandsynligheden er ujævn, hvis der ikke er lige stor sandsynlighed for alle udfald fx en tændstikæske.
Fx.
13
Et udfald er et muligt resultat af et eksperiment.
Udfaldet af et kast med en 6-sidet terning kan være en 1´er, 2´er, 3´er osv.
Udfaldsrummet er alle de udfald, der kan forekomme. Udfaldsrummet for kast med en 6-sidet terning er altså:
Her er flere eksempler på udfaldsrum:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
gul, grøn, rød, blå, lilla
plat/plat, krone/krone, plat/krone, krone/plat
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
Hændelse
En hændelse er den del af udfaldsrummet, som man er interesseret i fx hvad er chancen for et lige tal, når du kaster en 6-sidet terning = hvad er chancen for hændelsen “et lige tal”.
Kaldes også gunstigt udfald
14
Statistisk sandsynlighed
Teoretisk sandsynlighed
Subjektiv
sandsynlighed
Statistisk sandsynlighed
Hvad er sandsynligheden for, at en tegnestift lander med spidsen opad, når den kastes?
Du kan ikke finde svaret på spørgsmålet ved at slå op i en formelsamling. Du bliver nødt til at kaste tegnestiften mange gange og notere, hvordan den lander. Du bruger så resultaterne til at beregne sandsynligheden.
Teoretisk sandsynlighed
Hvad er sandsynligheden for at slå 6 ved kast med en terning?
Ved kast med en terning er sandsynligheden den samme for alle udfald.
Når sandsynligheden for et udfald er fastlagt, og man på forhånd kan sige, hvad den er, så er der tale om teoretisk sandsynlighed. Sandsynligheden kan altså beregnes uden undersøgelse/eksperiment.
Subjektiv sandsynlighed
Hvad er sandsynligheden for, at Danmark kvalificerer sig til VM i fodbold?
Svaret på det spørgsmål bygger ikke på hverken beregninger eller statistiske undersøgelser.
Det bygger både på en viden om spillere, formkurver og modstanderhold, men det bygger også på ønsker og håb.
Forudsigelsen om resultatet af landskampen bygger på en subjektiv sandsynlighedsopfattelse.
15
Chancen eller sandsynligheden for forskellige hændelser kan findes ved undersøgelse eller ved beregning.
Når du skal undersøge chance for noget, laver du et chanceeksperiment (et forsøg), som du gentager nogle gange for at se, hvilke resultater du får.
På den måde kan du efterfølgende undersøge chancen for forskellige hændelser.
​
En anden mulighed er at beregne chancen uden at lave en undersøgelse.
Når du skal beskrive sandsynligheden for et udfald eller en hændelse, skal du se på, hvor stor en del af udfaldet eller hændelsen udgør af de mulige udfald.
Chancen for at land på gul:
Der er i alt 4 mulige udfald:
rød, gul, grøn og blå
​
Dvs. chancen for at lande på gul er 1 ud af 4.
Antallet af et bestemt udfald
Antal mulige udfald i alt
= 0,25 = 25%
Sandsynligheden kan beskrives på tre forskellige måde: brøk, decimal og procent.
EKS:
Chancen for slå et lige tal
med en 6-sidet terning er:
Udfaldsrum:
1, 2, 3, 4, 5, 6
= 0,5 = 50%
Chancen for at trække en gul kugle er:
Udfaldsrum:
= 0,7 = 70%
Chancen for at lande på 3, 4 eller 5 er:
Udfaldsrum:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
= 0,375 = 38%
Chancen for at trække en hjerter i et spil kort er:
Udfaldsrum:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
B, D, K
= 0,25 = 25%
16
Kombinatorik handler om metoder til at finde antal - antal kombinationer eller rækkefølger (antal udfald i et udfaldsrum).
​
Du kan finde antallet af mulige udfald på flere måder:
Tegn et tælletræ, udfyld en tabel eller beregn.
EKS:
Du skal finde ud af, hvor mange forskellige sæt tøj du kan sammensætte, når du kan vælge mellem 2 t-shirts og 3 par shorts.
Tælletræ
Beregn
Tælletabel
2 • 3 = 6
Du kan bruge kombinatorik til at bestemme sandsynligheden for et udfald i et eksperiment. Du kan fx spørge:
-
Hvor stor er chancen for, at du vælger et sæt med røde shorts?
-
Hvor stor er chancen for at vælge et sæt med grøn bluse?
17
Sandsynlighed handler om at kunne vurdere risici eller chancer. I statistisk sandsynlighed er sandsynligheden baseret på statistik.
EKS:
I en klasse har de 24 elever skostørrelser fra størrelse 35 til størrelse 42. Data (informationerne om skostørrelserne) sættes ind i en tabel. Derefter kan man beregne frekvenserne. Frekvensen beskriver, hvor stor en brøkdel af data, der fx er størrelse 37. Man beregner ofte frekvenserne i procent.
Du kan ud fra observationssættet udarbejde en hyppighedstabel og frekvenstabel.
Ud fra hyppighedstabellen kan du fx læse, at 3 elever bruger størrelse 40 i sko og at det udgør 17% af eleverne.
Gunstige og mulige udfald
Gunstige udfald handler om hvorvidt det du undersøger sker.
Hvis du undersøger chancen for at slå plat med en mønt, vil "plat" være et gunstigt udfald.
Undersøger du chancen for at slå 6 med en almindelig terning, vil slagene med "seksere" være gunstige udfald.
Mulige udfald handler om, hvor mange udfald der er muligt i alt.
​
Du kan bruge tabellen til at få svar på spørgsmål som:
-
Hvor stor er chancen for, at vælge en elev, der bruger størrelse 37?
-
Hvor stor er chancen for, at vælge en elev, der bruger en skostørrelse over 39?
18
Nogle former for sandsynlighed kan du beregne ved hjælp at statistik, og andre kan du beregne uden. Du kan finde sandsynligheder ved hjælp af tælletræer og tabeller, hvor du finder et udfaldsrum og beregner sandsynlighed på baggrund af udfaldsrummet. Det kalder man teoretisk sandsynlighed.
Tælletræ
Hvor mange forskellige rækkefølger kan du få, hvis du kaster en mønt tre gange og hvad er sandsynligheden for at du kaster tre gange plat?
Før du kan beregne sandsynlighederne skal du beregne, hvor mange gunstige og hvor mange mulige udfald der er.
Et tælletræ kan være en hjælp til at holde styr på udfaldene.
plat, plat, plat
Ud fra tælletræet kan du se, at der er 8 mulige udfald.
Én af disse er plat, plat, plat. Sandsynligheden for at kaste 3 plat er derfor
1 ud af 8 =
Tælletabel
Når du kaster to terninger og gerne vil beregne sandsynligheden for, at en af terningerne eller begge terninger viser øjentallet 6, kan du benytte en tælletabel.
Når du kaster to terninger og gerne vil beregne sandsynligheden for, at en af terningerne eller begge terninger viser øjentallet 6, kan du benytte en tælletabel.
Udfaldene med den ene terning er vist med blå skrift og den anden med sort skrift.
Tælletabellen viser kombinationerne af alle udfaldene.
​
Der er i alt 36 mulige udfald.
Sandsynligheden for fx at en af terningerne eller begge terninger viser øjentallet 6, er:
11 ud af 36 =
Chancetabel
Når du skal beregne sandsynligheder for en hændelse kan et chancetrævære en hjælp. Et chancetræ er et tælletræ, hvor sandsynlighederne for hændelsen er noteret på grenene.
plat, plat, plat
Sandsynligheden for at slå plat i første kast er ½. Det samme gør sig gældende for de to efterfølgende kast.
Sandsynligheden for at kaste tre plat er derfor:
•
=
•
19
Simulering betyder efterligning eller at lade som om. Når der skal laves mange eksperimenter, kan det være praktisk at fx lade en computer efterligne eksperimenterne. Det ville tage temmelig lang tid, hvis du selv skulle slå 1000 gange med en terning, men computeren kan gøre det lynhurtigt, hvis du bruger en speciel formel i regnearket.
Du skal bruge formlen:
=SLUMPMELLEM(mindst;størst)
Slump betyder, at regnearket vælger et tilfældigt tal mellem “mindst” og “størst”. I stedet for mindst og størst skal du skrive to tal, fx 1 og 6, hvis du skal simulere slag med en almindelig terning med øjentallene
1, 2, 3, 4, 5 og 6.
1. Skriv formlen hér!
3. I hver celle vil der stå resultatet af et terningekast med en almindelig terning.
2. Træk i hjørnet af cellen, når du skal kopiere!
Til sidst kan du bruge en formel til at tælle, hvor mange af de 100 resultater der er 1, 2, 3, 4, 5 eller 6.
​
Hvis du fx vil undersøge hvor mange gange slaget 6 forekommer, skal du skrive følgende tælleformel:
=TÆL.HVIS(markér tallene;"6")
Du kan se at der slået en 6´er 24 gange.
Hvis du gerne vil undersøge andre slag, udskifter du bare tallet mellem " ".
De store tals lov
De store tals lov betyder, at jo flere eksperimenter/forsøg, jo mere præcis sandsynlighed vil man normalt få.
Fx. Hvis du slår 6 gange med en terning, kan du opleve, at ingen af slagene er en 2´er. Hvis du slår 1000 gange med en terning, vil det være usandsynligt, at ingen af disse er en 2´er.